Exemple de problème sur le calcul du diamètre de l’arbre

Exemple de problème sur le calcul du diamètre de l'arbre

Dans les articles précédents, nous avons discuté du calcul du diamètre de l’arbre s’il est soumis à un moment de torsion, un moment de flexion, une fluctuation et une charge axiale. Voici la liste de tous les articles dont nous avons discuté.

Comment calculer le diamètre de l’arbre à partir du couple ?

Comment calculer le diamètre de l’arbre sous torsion, moment de flexion et fluctuation ?

Comment calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale ?

Résolvons l’exemple de problème de calcul du diamètre d’arbre pour un engrenage à pignon.

Énoncé du problème

Un arbre plein en acier transmettant 15 kW à 200 tr/min est soutenu par deux roulements distants de 750 mm et a deux engrenages clavetés. Le pignon à 30 dents d’un module de 5 mm est situé à 100 mm à gauche du roulement droit et délivre la puissance horizontalement à droite. L’engrenage à 100 dents de module de 5 mm est situé à 150 mm à droite du palier gauche et reçoit la puissance dans une direction verticale par le bas. En utilisant une contrainte admissible de 54 MPa en cisaillement, déterminez le diamètre de l’arbre.

Réponse:

Données données
Puissance P = 15 kW = 15 × 103 W
Vitesse N = 200 tr/min
Longueur de l’arbre AB = 750 mm
Pignon nombre de dents T = 30
Module d’engrenage à pignon m = 5 mm
Transmission nombre de dents TC = 100 ;
Appareil de transmission Module mC = 5 mm
Contrainte de cisaillement du matériau de l’arbre τ = 54MPa = 54 N/mm2

Exemple de problème sur le calcul du diamètre de l'arbre

Nous pouvons calculer le couple transmis à partir de la puissance et de la vitesse données. (Vérifier le calculateur de couple)

Couple T = 716 × 103 N mm

Ce couple a été représenté sur le schéma ci-dessous partie (a)

Nous savons que diamètre de l’engrenage = nombre de dents sur l’engrenage × module (à partir d’ici)

Le rayon de l’engrenage de transmission C = (TC × mC)/2 = (100 × 5)/2 = 250 mm

De même le rayon du pignon D = (T × m)/2 = (30 × 5)/2 = 75 mm

Nous pouvons faire l’hypothèse que le couple en C et D est le même.

Donc force tangentielle sur l’engrenage C, agissant vers le bas,

FtC = T / RC = (716 × 103) / 250 = 2870N

De même la force tangentielle sur le pignon D, agissant horizontalement,

Ft = T / R= (716 × 103) / 75 = 9550N

Ces forces sont représentées dans le schéma de principe partie (c) et (d)

Exemple de problème sur le calcul du diamètre de l'arbre
Figure : Représentations du diagramme des forces et des moments fléchissants

Trouvons maintenant le moment de flexion maximal pour les charges verticales et horizontales.

Trouver le moment de flexion pour le chargement vertical sur l’arbre d’engrenage

Tout d’abord, considérant le chargement vertical en C.

Disons RUN V et RBV être les réactions aux paliers A et B respectivement.

Nous savons que RUN V + RBV = 2870N

En prenant quelques instants sur A, on peut écrire

RBV × 750 = 2870 × 150
RBV = 2870 × 150 / 750
RBV = 574 N

Trouvons maintenant le RUN V = 2870 – 574 = 2296 N

Nous savons que le moment de flexion en A et B sera MUN V = MBV = 0

Le moment de flexion en C sera MCV = RUN V × 150 = 2296 × 150 = 344400N-mm

Le moment de flexion en D sera MDV = RBV × 100 = 574 × 100 = 57400N-mm

Le diagramme du moment de flexion pour le chargement vertical est présenté au-dessus de la partie (e) du diagramme.

Trouver le moment de flexion pour le chargement horizontal sur l’arbre d’engrenage

Considérons maintenant le chargement horizontal en D. Soit RAH et RBH être les réactions aux paliers A et B respectivement.

Nous savons que
RAH + RBH = 9550N

En prenant quelques instants à propos de A, nous obtenons
RBH × 750 = 9550 (750 – 100)
RBH × 750 = 9550 × 650
RBH = 9550 × 650 / 750
RBH = 8277 N

Trouvons maintenant le RAH = 9550 – 8277 = 1273 N

Nous savons que le moment de flexion en A et B sera MAH = MBH = 0

Le moment de flexion en C sera MCH = RAH × 150 = 1273 × 150 = 190 950 N-mm

Le moment de flexion en D sera MDH = RBH × 100 = 8277 × 100 = 827 700 N-mm

Le diagramme du moment de flexion pour le chargement horizontal est présenté au-dessus de la partie du diagramme (f).

Trouver les moments de flexion résultants

Maintenant, nous devons trouver le moment de flexion résultant en C,

MC =√((mCV)2+(mch)2) = ((344 400)2+(190 950)2) = 393790 N mm

Le moment de flexion résultant en D

M =√((mdv)2+(mdh)2) = ((57 400)2+(827 700)2) = 829690 N-mm

Le diagramme du moment de flexion résultant est illustré au-dessus de la partie du diagramme (g).

À partir du diagramme schématique ci-dessus du moment fléchissant, on observe que le moment fléchissant est maximal en D.

Le moment de flexion maximum M sera = M = 829 690 N mm

Calcul du diamètre de l’arbre

Disons d = Diamètre de l’arbre.

Nous savons que le moment de torsion équivalent si l’arbre est soumis au moment de torsion et au moment de flexion,

((829 690)2+(716 103)2) = (π/16) × 54 × d3
1096 × 103 = 10,6 jours3
3 = 1096 × 103/10,6
3 = 103,4 × 103
d = 47

Prenons le diamètre de l’arbre à 50 mm.

De même, si l’arbre est soumis à une charge fluctuante ou à une charge axiale, nous pouvons utiliser l’équation du moment de torsion équivalente mentionnée dans ces articles respectivement.

Comment calculer le diamètre de l’arbre à partir du couple ?

Comment calculer le diamètre de l’arbre sous torsion, moment de flexion et fluctuation ?

Comment calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale ?