Contraintes dans la coque cylindrique épaisse

Nous avons discuté des différents types de récipients sous pression dans l’article précédent. Le cylindre épais est l’un des types de coques cylindriques qui est soumis à des pressions internes très élevées pour de nombreuses applications telles que les canons de pistolet, les cylindres hydrauliques et les tuyaux. Dans ces applications, l’épaisseur de paroi doit être rendue épaisse pour s’adapter aux pressions internes élevées. Dans cet article, nous expliquerons comment calculer les contraintes dans une coque cylindrique épaisse.

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse

Dans l’article précédent, nous avons expliqué que les contraintes dans les parois cylindriques minces supposaient que les contraintes de traction étaient uniformément réparties sur la section des parois. Mais dans le cas des coques cylindriques épaisses, la contrainte sur la section des parois ne peut pas être supposée être uniformément répartie. Ils développent à la fois des contraintes tangentielles et radiales avec des valeurs qui dépendent du rayon de l’élément considéré.

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse

La répartition des contraintes dans une coque cylindrique épaisse est illustrée dans la figure ci-dessus. D’après la figure ci-dessus, nous voyons que la contrainte tangentielle est maximale à la surface intérieure et minimale à la surface extérieure de la coque. La contrainte radiale est maximale à la surface intérieure et nulle à la surface extérieure de la coque.

Pour concevoir une coque cylindrique épaisse pour toute application telle que les canons de pistolet, les cylindres hydrauliques et les tuyaux, nous devons comprendre quelques équations importantes. Ce sont

  1. L’équation de Lame
  2. L’équation de Birnie
  3. L’équation de Clavarino
  4. L’équation de Barlow

Pour la figure ci-dessus, supposons

ro = Rayon extérieur de la coque cylindrique
rje = Rayon intérieur de la coque cylindrique
t = Epaisseur de la coque cylindrique = ro – rje
p = Intensité de la pression interne
?? = coefficient de Poisson
??t = contrainte tangentielle
??r = contrainte radiale

L’équation de Lame

A partir du théorème de Lame, nous avons deux hypothèses à faire pour résoudre les problèmes des cylindres épais.

  1. Le matériau de la plaque cylindrique épaisse doit être supposé homogène et isotrope.
  2. Le matériau sera sollicité dans la limite élastique et obéit à la loi du crochet
  3. Les sections planes du cylindre perpendiculaires à l’axe longitudinal restent planes sous la pression
  4. Les fibres longitudinales de la coque cylindrique sont également tendues

Nous avons l’équation de Lames pour les contraintes tangentielles à tout rayon x est donnée par

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse à partir de l'équation de lames

De l’équation de Lames, nous avons les contraintes radiales à n’importe quel rayon X

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse à partir de l'équation de lames

Dans cet article, nous ne nous intéressons qu’à la pression interne, nous pouvons substituer le po= 0

nous pouvons donc réécrire les équations ci-dessus en substituant le po= 0 et pje aussi simplement p

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse à partir de l'équation de lames

A partir du schéma ci-dessus de la section cylindrique épaisse, on peut voir que les contraintes tangentielles sont toujours en traction, alors que les robes radiales sont en compression.

La contrainte tangentielle est maximale à la surface intérieure du cylindre qui est x = rje et la contrainte tangentielle est minimale à la surface extérieure du cylindre qui est x = ro

Nous pouvons réécrire l’équation de contrainte tangentielle ci-dessus (Éqn 1) en substituant les valeurs ci-dessus de x pour les conditions maximales et minimales.

Contraintes dans la coque cylindrique épaisse à partir de l'équation de lames

De même, la contrainte radiale est maximale à la surface intérieure du cylindre qui est x = rje et la contrainte radiale est nulle à la surface extérieure du cylindre qui est x = ro

Nous pouvons réécrire l’équation de contrainte radiale ci-dessus (Éqn 2) en substituant les valeurs ci-dessus de x pour les conditions maximales et minimales.

??r(max) = – p (compressif)

??r(min) = 0

Pour concevoir une coque cylindrique épaisse à partir de matériaux fragiles tels que la fonte, l’acier dur et la fonte d’aluminium, avec une coque ouverte ou fermée, nous devons concevoir selon la théorie de la contrainte normale maximale.

La contrainte tangentielle peut s’écrire sous la forme

Nous savons que l’épaisseur de la paroi est t = rorje

De là, on peut écrire ro = rje + t

Nous pouvons remplacer cela dans l’équation ci-dessus. on a

Et encore simplifié

C’est l’équation pour la conception d’une coque cylindrique épaisse pour les matériaux fragiles uniquement. La valeur det pour les matériaux fragiles peut être pris comme 0,125 fois la résistance ultime à la traction (σvous). Pour les matériaux ductiles, la conception de la coque cylindrique épaisse l’équation de Lame est modifiée selon la théorie de la contrainte de cisaillement maximale.

Selon cette théorie de la contrainte de cisaillement maximale, la contrainte de cisaillement maximale en tout point est égale à la moitié de la différence algébrique des contraintes principales maximales et minimales en ce point.

Le principe maximum à la surface intérieure est

et la contrainte principale minimale à la surface extérieure est

??t(min) = – p

Nous pouvons les remplacer dans l’équation de contrainte de cisaillement maximale suivante. aussi, remplacer ro = rje + t

On obtient enfin

Épaisseur de la coque cylindrique épaisse

La valeur de la contrainte de cisaillement (τ) est généralement considérée comme la moitié de la contrainte de traction (σt).

Par conséquent, l’expression ci-dessus peut être écrite comme suit

Épaisseur de la coque cylindrique épaisse de l'équation de lames

Comme nous pouvons le voir à partir de l’équation ci-dessus, le p (pression interne) dans le dénominateur ne peut pas être égale ou supérieure à la contrainte de travail admissible (σt ou ). Si p est égale ou supérieure à la contrainte de travail admissible (σt ou τ), alors aucune épaisseur de la paroi du cylindre n’empêchera la défaillance.

Ainsi, il est impossible de concevoir un cylindre pour résister à une pression de fluide supérieure à la contrainte de travail admissible pour un matériau donné.

Pour surmonter cette difficulté, nous utilisons la conception de cylindres composés. Voici un diagramme schématique d’un cylindre composé à quoi il ressemble.

Coquille cylindrique composée

L’équation de Birnie

Dans le cas de cylindres ouverts tels que les cylindres de pompe, les vérins, les canons de pistolet, etc. en matériau ductile, par exemple en acier à faible teneur en carbone, en laiton, en bronze et en alliages d’aluminium, les contraintes admissibles ne peuvent pas être déterminées à l’aide de la théorie des contraintes maximales de échec. Dans de tels cas, la théorie de la déformation maximale est utilisée. Selon cette théorie, la rupture se produit lorsque la déformation atteint une valeur limite et l’équation de Birnie pour l’épaisseur de paroi d’un cylindre est

L'équation de Birnie

La valeur de Contraintes maximalest peut être pris comme 0,8 fois la limite d’élasticité (σoui).

L’équation de Clavarino

Cette équation est également basée sur la théorie de la rupture par déformation maximale, mais elle est appliquée aux cylindres fermés (ou aux cylindres équipés de têtes) en matériau ductile. D’après cette équation, l’épaisseur d’un cylindre,

L'équation de Clavarino

Dans ce cas également, la valeur de Contraintes maximalest peut être pris comme 0,8 fois la limite d’élasticité (σoui).

L’équation de Barlow

Cette équation est généralement utilisée pour les conduites de pétrole et de gaz à haute pression. D’après cette équation, l’épaisseur d’un cylindre,
t = pro /t

Dans ce cas également, la valeur des contraintes maximales σt peut être prise égale à 0,8 fois la limite d’élasticité (σy) pour les matériaux ductiles. Mais pour les matériaux fragiles, les contraintes maximales σt peuvent être prises comme 0,125 fois la résistance à la traction ultime (σu), ce qui est similaire à l’équation de Lames.

Conclusion

Nous avons discuté de la façon dont nous pouvons trouver les contraintes dans la coque cylindrique épaisse en discutant de 4 équations différentes pour différents cylindres tels que l’extrémité ouverte et l’extrémité fermée, également pour les différents matériaux tels que le matériau fragile et ductile. Dites-nous ce que vous pensez de ces équations pour trouver l’épaisseur d’un cylindre pour votre application.