Comment calculer toutes les forces en treillis avec les méthodes de section ?

How to calculate forces in Truss with Methods of Joints?

Une ferme est une structure composée d’éléments minces ou de poutres reliées par des broches aux extrémités et est capable de supporter des charges au niveau des joints. Le treillis est une structure rigide. Ils sont utilisés comme fermes de toit pour soutenir les toits en pente et comme fermes de pont pour soutenir le tablier. Dans de nombreuses machines, des fermes en acier sont utilisées. Les pylônes de transmission sont également des exemples de fermes. Dans le cas des fermes en bois, les extrémités sont reliées en réalisant des joints appropriés ou par clouage et boulonnage, tandis que dans les fermes en acier, les extrémités sont reliées par boulonnage ou soudage. Les fermes sont également connues sous le nom de « charpentes articulées ». Discutons plus de détails sur les fermes et voyons comment nous pouvons calculer toutes les forces dans Truss.

Comment calculer les forces en treillis avec les méthodes d'assemblages ?

Une ferme dans laquelle tous les membres se trouvent dans un seul plan est appelée une ferme plane. Dans de telles fermes, les charges agissent uniquement dans le plan de la ferme. Les fermes de toit et les fermes de pont peuvent être considérées comme des fermes planes.

Si tous les membres d’un treillis ne se trouvent pas dans un seul plan, on parle alors de treillis spatial. Les tours de trépied et de transmission sont des exemples de fermes spatiales.

L’analyse des fermes planes est discutée ci-dessous.

Qu’est-ce qu’une ferme parfaite ?

Une ferme articulée qui a juste un nombre suffisant d’éléments pour résister aux charges sans subir de déformation appréciable de la forme est appelée une ferme parfaite.

Une ferme triangulaire est la ferme parfaite la plus simple et comporte trois articulations et trois membres, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

ferme parfaite

Des fermes parfaites à quatre et cinq joints sont illustrées respectivement aux figures (a) et (b).

ferme parfaite

On peut observer que pour augmenter un joint dans une ferme parfaite, deux éléments supplémentaires sont nécessaires.

Par conséquent, l’expression suivante peut être écrite comme la relation entre un nombre de joints j et le nombre de membres m dans une ferme parfaite.

m = 2j – 3

Cependant, l’équation ci-dessus ne donne qu’une condition nécessaire, mais non suffisante, d’une ferme parfaite. Par exemple, les deux fermes représentées sur les figures (a) et (b) ont le même nombre d’éléments et de joints.

(a) Exemple de tressage parfait
(b) Pas une tresse parfaite en raison du changement de forme lors de l’application de la charge

Le treillis illustré à la figure (a) est parfait alors que celui illustré à la figure (b) n’est pas capable de conserver sa forme s’il est chargé au niveau du joint marqué 6. Par conséquent, la seule condition nécessaire et suffisante d’un treillis parfait est qu’il doit conserver sa forme lorsque la charge est appliquée à n’importe quel joint dans n’importe quelle direction.

Qu’est-ce qu’une ferme déficiente ?

Une ferme est dite déficiente si le nombre de ses membres est inférieur à celui requis pour une ferme parfaite. De telles fermes ne peuvent pas conserver leur forme lorsqu’elles sont chargées. Une ferme défectueuse est illustrée dans la figure ci-dessous.

Ferme déficiente
Ferme déficiente

Qu’est-ce qu’un treillis redondant ?

Une ferme est dite redondante si le nombre de membres qu’elle contient est supérieur à celui requis dans une ferme parfaite. De telles fermes ne peuvent pas être analysées en utilisant uniquement les équations d’équilibre.

Ainsi, une ferme redondante est statiquement indéterminée. Chaque membre supplémentaire ajoute un degré d’indétermination. Pour l’analyse de tels éléments, la cohérence des déformations doit être prise en compte. La ferme illustrée ci-dessous est une ferme redondante typique. Dans cette ferme, un élément diagonal de chaque panneau est supplémentaire. Il s’agit donc d’un treillis redondant à deux degrés.

Ferme redondante
Ferme redondante

Considérons seulement le Truss parfait pour l’analyse et voyons comment nous pouvons calculer toutes les forces dans le Truss.

Hypothèses pour l’analyse de la ferme

Dans la théorie qui va être développée dans ce chapitre, les hypothèses suivantes sont faites :

(1) Les extrémités des éléments sont reliées par des broches (articulées)
(2) Les charges n’agissent qu’au niveau des joints
(3) Les poids propres des membres sont négligeables
(4) La section transversale des membres est uniforme

Si la section transversale varie, le centre de gravité de la section est supposé être situé le long de la même ligne longitudinale.

En réalité, les membrures sont reliées par boulonnage, rivetage ou par soudure. Aucun soin particulier n’est pris pour assurer des connexions de broches parfaites. Cependant, des expériences ont montré que l’hypothèse d’extrémités reliées par des broches est tout à fait satisfaisante car les éléments utilisés sont élancés.

Nature des forces dans les membres de la ferme

Les éléments d’une ferme sont soumis à des forces de traction ou de compression. Une ferme typique ABCDE chargée au joint E est illustrée dans la figure ci-dessous (a).

L’élément BC est soumis à une force de compression C comme indiqué dans la figure (b) ci-dessus. L’effet de cette force sur l’articulation B (ou C) est égal et opposé à la force C comme le montre la figure (b).

L’élément AE est soumis à une force de traction T. Ses effets sur les assemblages A et E sont illustrés à la figure (b) ci-dessus. Dans l’analyse de l’ossature, nous marquons les forces sur les joints, au lieu des forces dans les éléments, comme indiqué dans la figure ci-dessous.

On peut noter qu’un effort de compression dans un élément est représenté sur une figure par deux flèches s’éloignant l’une de l’autre et un effort de traction par deux flèches se rapprochant l’une de l’autre. Ceci est tout à fait logique compte tenu du fait que les marquages ​​sur les barres représentent les forces réactives internes développées qui sont de sens opposé aux forces appliquées.

Méthodes d’analyse

Les trois méthodes suivantes sont disponibles pour l’analyse des ossatures reliées par des broches appelées fermes.

(a) Méthode des joints
(b) Méthode de coupe
(c) Méthode graphique.

Dans l’article précédent, nous avons déjà expliqué comment calculer les forces en treillis à l’aide des méthodes des articulations. discutons de la façon dont nous pouvons calculer les forces en treillis à l’aide de la méthode de la section.

Calcul des forces dans la ferme par méthode de section

  • Dans la méthode de la section, après détermination des réactions, une ligne de section est tracée passant par au plus trois éléments dans lesquels les forces ne sont pas connues de sorte que le cadre est coupé en deux parties distinctes.
  • Chaque partie doit être en équilibre sous l’action des charges, des réactions et des forces dans les éléments coupés par la ligne de coupe.
  • L’équilibre de l’une quelconque de ces deux parties est considéré et les forces inconnues dans les éléments coupés par la ligne de coupe sont déterminées.
  • Le système de forces agissant sur l’une ou l’autre partie de la ferme constitue un système de forces non concurrentes.
  • Puisqu’il n’y a que trois équations d’équilibre indépendantes, il ne devrait y avoir que trois forces inconnues.
  • Par conséquent, dans cette méthode, c’est une condition essentielle que la ligne de coupe ne traverse pas plus de trois éléments dans lesquels les forces ne sont pas connues et elle doit séparer le cadre en deux parties.

Ainsi, la méthode de la section est l’application de l’analyse des systèmes de forces non concurrentes alors que la méthode des articulations, décrite dans l’article précédent était l’application de l’analyse des forces concurrentes
système.

Dans les deux conditions suivantes, la méthode de la section est préférée à la méthode des joints :

(1) Dans une grande ferme dans laquelle des forces dans seulement quelques membres sont nécessaires
(2) Dans la situation où la méthode des joints ne parvient pas à démarrer/poursuivre l’analyse

Résolvons 3 exemples de problèmes sur la méthode de la section. Les exemples 1 et 2 sont les cas dans lesquels la méthode de la section est avantageuse car des efforts dans seulement quelques barres sont nécessaires. L’exemple 3 est le cas dans lequel la méthode des articulations ne parvient pas à démarrer/procéder à l’obtention de la solution.

En pratique, les ossatures peuvent être analysées en partie par la méthode de la section et en partie par la méthode des joints comme illustré dans l’exemple 3, veuillez donc vous référer aux méthodes de joint si vous ne l’avez pas déjà fait.

Exemple de problèmes pour calculer toutes les forces en treillis à l’aide de la méthode de section

Exemple 1. Déterminez les forces dans les éléments FH, HG et GI dans la ferme illustrée dans la figure ci-dessous. Chaque charge est de 10 kN et tous les triangles sont équilatéraux avec des côtés de 4 m.

Comment calculer toutes les forces en treillis avec les méthodes de section ?

Solution:

En raison de la symétrie,

RUNE = R0 = 1/2 × 10 × 7 = 35 kN

Prenez la section (A)–(A), qui coupe les éléments FH, GH et GI et sépare la ferme en deux parties.

Considérez l’équilibre de la partie gauche comme indiqué dans la figure ci-dessous (Préférez la partie dans laquelle
un certain nombre de forces sont moindres).

ΣMg = 0, donne
FFH × 4 sin 60° – 35 × 12 + 10 × 10 + 10 × 6 + 10 × 2 = 0
FFH = 69,2820 kN (Comp.)

∑V = 0, donne
FGH sin 60° + 10 + 10 + 10 – 35 = 0
FGH = 5,7735 kN (Compression)

∑ H = 0, donne
FIG – FFH – FGH cos 60° = 0
FIG = 69,2820 + 5,7735 cos 60°
FIG = 72,1688 kN (Tension)

Exemple 2 : Trouvez l’amplitude et la nature des forces dans les éléments U3U4, L3L4 et U4L3 de la ferme chargée illustrée à la figure.

Comment calculer toutes les forces en treillis avec les méthodes de section ?

Solution:

Pour déterminer les réactions, considérez les équations d’équilibre.

Maintenant, ∑ M LO = 0, donne
R2 × 36 – 200 × 6 – 200 × 12 – 150 × 18 – 100 × 24 – 100 × 30 = 0
R2 = 325 kN

∑V = 0, donne
R1 = 200 + 200 + 150 + 100 + 100 – 325
R1 = 425 kN

Prenez la section (1)–(1) et considérez la partie de droite.

tu3tu4 = √(12 + 62) = 6,0828
sin θje = 1/6,0828 = 0,1644
cos θje = 6 /6.0828 = 0.9864

L3tu4 = 62 + 82 = 10
sin θ2 = 0,6 cos θ2 = 0,8
Σ MU4 = 0, donne
FL3L4 × 8 – 325 × 12 + 100 × 6 = 0
FL3L4 = 412,5 kN (Tension)

Σ ML3 = 0, donne
FU4U3 × cos θ1 × 9 + 100 × 6 + 100 × 12 – 325 × 18 = 0
FU4U3 = 456,2072 kN (Comp.)

∑ H = 0
FU4U3 sin θ2 – FU4U3 cos θ1 +FL4L3 = 0
FU4U3 = (456,2072 × 0,9864- 412,5)/ 0,6
FU4U3 = 62,5 kN (Tension)

Exemple 3 : Trouvez les forces dans les éléments (1), (2) et (3) de la ferme française illustrée dans la figure ci-dessous.

Comment calculer toutes les forces en treillis avec les méthodes de section ?

Solution:

En raison de la symétrie

RUNE = RB = (1/2) × 20 × 7 = 70 kN
CA = 4 × a = 9/cos 30°
∴ a = 2,5981 m

Prenez la section (A)–(A) et considérez l’équilibre de la partie gauche de la ferme française
montré dans la figure ci-dessus.

Déposez perpendiculairement CE sur AB.

CE = 9 tan 30°
DE = 3 m
∴ tan θ = (9 tan30)/3 =3 × 1/√3 =√3
∴ θ = 60°

∑ M UNE = 0, donne
F2 sin 60° × 6 – 20 × 2,5981 cos 30° – 20 × 2 × 2,5981 cos 30° – 20 × 3 × 2,5981 cos 30° = 0
F2 = 20 × 2,5981 (1+2+3)/6
On sait sin 60° = cos 30°, et en substituant on obtient
F2 = 51,9615 kN (Tension)

∑V = 0, donne
F1 sin 30° – 70 + 20 + 20 + 20 – 51,9615 sin 60° = 0
F1 = 110 kN (Comp.)

∑ H = 0, donne
F3 + F2 cos 60° – F1 cos 30° = 0
F3 = 69,2820 (Tension)

Remarque : Dans ce problème, la méthode des joints ne peut donner une solution complète.

Conclusion

Nous avons discuté de ce qu’est un treillis parfait, un treillis de redondance et un treillis déficient. Nous avons répertorié les hypothèses que nous faisons pour analyser le treillis, ainsi que les types de forces dans les membres du treillis. Nous avons calculé avec succès toutes les forces dans la ferme données dans 3 exemples de problèmes à l’aide de la méthode de la section. Faites-nous savoir ce que vous pensez de cet article dans la section des commentaires ci-dessous.