Comment calculer le diamètre de l’arbre sous le moment de torsion et de flexion ?

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

Dans l’article précédent, nous avons expliqué qu’à partir d’un couple donné, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre, mais que se passe-t-il si l’arbre est soumis au moment de flexion et à la torsion en même temps ? Voyons comment nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre sous le moment de torsion et de flexion.

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

Conception des arbres

La conception des arbres dépend essentiellement de la résistance, de la rigidité et de la rigidité. Le calcul du diamètre de l’arbre discuté dans cet article est basé sur la résistance de l’arbre.

Généralement, les arbres sont utilisés soit comme arbres de transmission, soit comme arbres de machine.

Arbres de transmission :

Les arbres de transmission sont ceux qui transmettent la puissance entre le conducteur et l’équipement entraîné. Ainsi, tous ces arbres seront soumis à la charge de torsion.

Des exemples d’arbres de transmission sont les arbres intermédiaires, les arbres de ligne, les arbres en tête et tous les arbres d’usine. Tous ces arbres peuvent contenir des engrenages, des poulies ou des tronçons.

En raison de ces éléments, les arbres subissent également des moments de flexion.

Arbres de machines font partie intégrante de la machine comme le vilebrequin.

Il existe trois manières possibles pour un arbre de subir des contraintes. Ce sont

  1. Contrainte de cisaillement due à la torsion ou au couple.
  2. Contraintes de flexion (de traction ou de compression) dues aux forces agissant sur les éléments de la machine comme les engrenages, les poulies, etc. ainsi qu’en raison du poids de l’arbre lui-même.
  3. Contraintes dues aux charges combinées de torsion et de flexion.

Le premier cas est déjà évoqué dans l’article précédent, mais nous le reverrons une fois de plus.

1. Calcul du diamètre de l’arbre sous charge de torsion (arbres du moteur)

calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion

Comme nous le savons Équation de torsion

À partir de l’équation de torsion, nous écrivons directement l’expression suivante pour le couple

Cette relation peut être élargie comme suit en substituant le moment d’inertie polaire de la section circulaire

Avec cette relation, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre si l’arbre n’est soumis qu’à une charge de torsion pure.

Et s’il y a un moment de flexion à considérer ?

Voyons comment calculer le diamètre de l’arbre si l’arbre est soumis à une flexion.

2. Calcul du diamètre de l’arbre sous le moment de flexion uniquement (arbres d’essieu)

calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion

Semblable à l’équation de torsion, nous avons une équation de flexion,


M = Moment de flexion
I = Moment d’inertie de l’arbre
??b = Contrainte de flexion
y = Distance du point à l’axe neutre = d/2
E = Module d’élasticité du matériau
R = Rayon de courbure

À partir de là, nous pouvons considérer la partie suivante de l’équation.

On sait que pour un arbre plein environ, un moment d’inertie

Remplaçons et obtenons la relation de moment fléchissant pour l’arbre

A partir de cette relation, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre plein (d) si nous avons la contrainte de flexion admissible et le moment de flexion admissible du matériau de l’arbre.

Si l’arbre doit être un arbre creux, alors nous pouvons dériver la relation comme suit.

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

k = je / o

En substituant à nouveau ces valeurs dans l’équation de flexion principale, nous obtiendrons l’expression finale

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

A partir de cette expression, on peut calculer le diamètre extérieur de l’arbre creux (o) si nous avons la contrainte de flexion admissible et le moment de flexion admissible du matériau de l’arbre.

Savez-vous où ce moment de flexion est uniquement utilisé pour calculer le diamètre de l’arbre ?

Pour calculer le diamètre de l’arbre des essieux du wagon de chemin de fer qui n’aura que le moment de flexion. Pour calculer les diamètres d’arbre d’essieu d’un wagon de chemin de fer ou d’applications de roues similaires, nous devons utiliser cette approche. Résolvons un exemple de problème pour comprendre comment calculer le diamètre de l’arbre d’essieu.

Exemple de problème pour calculer le diamètre de l’arbre d’essieu d’un wagon de chemin de fer

Une paire de roues d’un wagon de chemin de fer supporte une charge de 50 kN sur chaque boîte d’essieu, agissant à une distance de 100 mm en dehors de l’empattement. L’écartement des rails est de 1,4 m. Trouver le diamètre de l’axe entre les roues, si la contrainte ne doit pas dépasser 100 MPa.

Réponse:

Soit : W = 50 kN = 50 × 103 NL = 100 mm ; x = 1,4 m ; b = 100 MPa = 100 N/mm2

calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion

Une petite considération montrera que le moment de flexion maximum agit sur les roues en C et D.

Par conséquent, le moment de flexion maximal calculé comme suit

RC = R = 50kN = 50×103N

Moment de flexion à UNE est MUNE = 0

Moment de flexion à C est MC = 50×103 × 100 = 5 × 106 N mm

Moment de flexion à est M = 50×103 × 1500 – 50×103 ×1400 = 5×106 N mm = 5×106 N mm

Moment de flexion à B est MB =0

Moment fléchissant global (M) = WL = 50 × 103 × 100 = 5 × 106 N mm

Disons d = Diamètre de l’axe.

Nous savons que le moment de flexion maximum pour un arbre plein est

5 × 106 = /32 ×σb × d3
= /32 × 100 × d3
= 9,82 jours3
3 = 5 × 106 / 9,82
= 0,51 × 106
d = 79,8

Nous avons obtenu le diamètre de l’arbre d’essieu à 79,8 mm, prenons le diamètre de l’arbre à 80 mm.

Considérons maintenant que l’arbre connaîtra à la fois le moment de torsion et le moment de flexion.

3. Calcul du diamètre de l’arbre sous le moment de torsion et le moment de flexion

Comme nous l’avons mentionné, tous les arbres de transmission subiront le moment de torsion dû au couple et le moment de flexion dû aux éléments de la machine tels que les fusées d’engrenage et les poulies ou, dans certains cas, en raison du poids propre de l’arbre.

Calcul du diamètre de l'arbre sous le moment de torsion et le moment de flexion

Si l’arbre est soumis à des moments de flexion et de torsion, il doit être dimensionné sur la base de ces deux moments simultanément.

Diverses théories ont été proposées pour expliquer la rupture élastique des matériaux lorsqu’ils sont soumis à divers types de contraintes combinées.

Les deux théories suivantes sont importantes du point de vue du sujet :

  1. Théorie de la contrainte de cisaillement maximale ou théorie de Guest. Il est utilisé pour les matériaux ductiles tels que l’acier doux.
  2. Théorie du stress normal maximum ou théorie de Rankine. Il est utilisé pour les matériaux cassants comme la fonte.

comme nous l’avons déjà supposé ci-dessus
τ = Contrainte de cisaillement induite par le moment de torsion, et
??b = Contrainte de flexion (traction ou compression) induite par le moment de flexion.

Selon la théorie de la contrainte de cisaillement maximale, la contrainte de cisaillement maximale dans l’arbre est

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

Nous pouvons substituer les valeurs de et σb comme nous l’avons discuté ci-dessus, nous pouvons obtenir

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

L’expression suivante est connue sous le nom de moment de torsion équivalent et est notée Te.

Le moment de torsion équivalent peut être défini comme ce moment de torsion qui, lorsqu’il agit seul, produit la même contrainte de cisaillement (τ) que le moment de torsion réel.

En limitant la contrainte de cisaillement maximale (τmax) égale à la contrainte de cisaillement admissible (τ) pour le matériau, Réécrivons l’ensemble de l’équation ci-dessus

A partir de cette relation, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre (d) sous un moment de torsion équivalent.

Selon la théorie de la contrainte normale maximale, la contrainte normale maximale dans l’arbre sera

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

L’expression suivante est connue sous le nom de moment de flexion équivalent et est notée Me

Le moment de flexion équivalent peut être défini comme le moment qui, lorsqu’il agit seul, produit la même contrainte de traction ou de compression (σb) comme moment de flexion réel.

En limitant la contrainte normale maximale [σb(max)] égale à la contrainte de flexion admissible (σb), Réécrivons l’ensemble de l’équation ci-dessus

A partir de cette relation, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre (d) sous un moment fléchissant équivalent.

Pour les arbres sacrés

Dans le cas d’un arbre creux, les deux équations ci-dessus de moment de torsion et de flexion équivalent peuvent être dérivées comme suit.

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous torsion et moment de flexion ?

Afin de calculer le diamètre de l’arbre sous Moment de torsion et Moment de flexion, nous devons calculer le diamètre de l’arbre à partir des deux équations ci-dessus individuellement et le plus grand diamètre de l’arbre est censé être utilisé pour la conception de l’arbre.

Prenons un exemple de problème et voyons comment nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre sous Moment de torsion et Moment de flexion et choisir la bonne taille de l’arbre.

Exemple de problème de calcul du diamètre de l’arbre sous le moment de torsion et le moment de flexion

Énoncé du problème : Un arbre circulaire plein est soumis à un moment de flexion de 3000N-m et à un couple de 10000N-m. L’arbre est en acier 45 C 8 ayant une contrainte de traction ultime de 700 MPa et une contrainte de cisaillement ultime de 500 MPa. En tenant compte d’un facteur de sécurité de 6, calculez le diamètre de l’arbre.

Réponse:

Données données
Moment de flexion (M) = 3000N-m = 3 × 106 N mm
Couple (T) = 10000 Nm = 10 × 106 N mm
contrainte de traction ultime σtu = 700 MPa = 700 N/mm2
contrainte de cisaillementvous = 500 MPa = 500 N/mm2
Facteur de sécurité = 6

Nous savons que la contrainte de traction admissible, σt oub =tu/ FS = 700/6 = 116,7 N/mm2

et contrainte de cisaillement admissible τ = τvous / FS = 500/6 = 83,3N/mm2

Il s’agit de la contrainte réelle admissible après prise en compte du facteur de sécurité.

Prenons maintenant d = Diamètre de l’arbre en mm.

Selon la théorie de la contrainte de cisaillement maximale, la relation de moment de torsion équivalente et la substitution des valeurs données sont les suivantes.

??((3×106)2 +(10×106)2) = (π/16) × 83,3 × d3
10,44×106 = 16,36 jours3
3 = 10,44 × 106 / 16.36
3 = 0,636 × 106
d = 86 mm

Nous avons un diamètre d’arbre de 86 mm selon la théorie de la contrainte de cisaillement maximale. Calculons également le diamètre de l’arbre en fonction de la théorie des contraintes normales maximales.

Selon la théorie de la contrainte normale maximale, la relation de moment fléchissant équivalente et la substitution des valeurs données sont les suivantes.

(1/2) × [3×106 + ((3×106)2 +(10×106)2)] = (π/16) × 116,7 × d3
6.72×106 = 11,46 × d3
3 = 6,72 × 106 / 11.46
3 = 0,586 × 106
d = 83,7 mm

en considérant la théorie de la contrainte normale maximale, nous obtenons le diamètre de l’arbre de 83,7 mm.

La plus grande des deux théories de contrainte est à 86 mm de la théorie de contrainte de cisaillement maximale.

86 mm est la valeur sûre à condier pour la conception de l’arbre. Il est préférable de prendre les valeurs standard de l’arbre.

Diamètres d’arbre standard pour arbres de transmission

Voici les diamètres disponibles de diamètre d’arbre standard

  1. Diamètre de l’arbre de 25 mm à 60 mm avec des pas de 5 mm (25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60)
  2. Diamètre de l’arbre 60 mm à 110 mm avec pas de 10 mm (60, 70, 80, 90, 100, 110)
  3. Diamètre de l’arbre 110 mm à 140 mm avec pas de 15 mm (110, 125, 140)
  4. Diamètre de l’arbre 140 mm à 500 mm avec pas de 20 mm (140, 160, 180, 200, 220, 240, 260, 280, 300, 320, 340, 360, 380, 400,, 420, 440, 460, 480, 500)

Les longueurs d’arbre standard disponibles sont de 5 mètres, 6 mètres et 7 mètres.

Pour notre problème ci-dessus, nous avons obtenu un diamètre d’arbre de 86 mm, donc la prochaine taille disponible est un arbre de 90 mm. nous devons prendre l’arbre de 90 mm de diamètre pour concevoir l’arbre.

Conclusion

Nous avons discuté de différents types d’arbres, ce sont des arbres de transmission et des arbres de machine. Et discuté de la façon de calculer le diamètre de l’arbre sous torsion et moment de flexion, avec un exemple de problème également. Liste des différents diamètres d’arbre standard parmi lesquels choisir. Également énuméré les critères pour décider du diamètre d’un arbre utilisé dans la transmission de puissance. Faites-nous savoir ce que vous en pensez dans la section commentaires ci-dessous.

Je voudrais que vous résolviez un petit problème d’échantillon donné ci-dessous.

Énoncé du problème : Un arbre en acier doux est nécessaire pour transmettre 100 kW à 300 tr/min. La longueur supportée de l’arbre est de 3 mètres. Il porte deux poulies pesant chacune 1500 N supportées à une distance de 1 mètre des extrémités respectivement. En supposant la valeur sûre de la contrainte, déterminez le diamètre de l’arbre.

Faites-moi savoir la réponse dans la section commentaire ci-dessous. Je t’aiderai.